← К карте

1.1. Натуральные и целые числа. Признаки делимости

49 задач в банке. Решать →

Натуральные и целые числа

Определение. Натуральными называют числа, которыми считают предметы: $1$, $2$, $3$, $4$, $\dots$ Множество натуральных чисел обозначают $\mathbb{N}$. В этом курсе число $0$ к натуральным не относят: нулем предметы не считают.

Определение. Целыми называют натуральные числа, число $0$ и числа, противоположные натуральным: $\dots$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $\dots$ Множество целых чисел обозначают $\mathbb{Z}$. Каждое натуральное число является целым, но не каждое целое — натуральным: число $-5$ целое, но не натуральное.

Делимость

Определение. Говорят, что целое число $a$ делится на натуральное число $b$, если существует такое целое число $q$, что $a=bq$. Число $b$ называют делителем числа $a$, а $a$ — кратным числа $b$. Записывают $b\mid a$.

Ключевое слово здесь — «существует целое $q$». Это значит, что при делении $a$ на $b$ остаток равен нулю: ничего «не остаётся». Если такого $q$ нет, говорят, что $a$ на $b$ не делится.

Пример 1

Делится ли число $18$ на $3$? Делится ли $18$ на $4$?

Решение

Ищем целое $q$ в равенстве $18=3q$. Подходит $q=6$, потому что $3\cdot 6=18$. Значит, $3\mid 18$. Для четвёрки равенство $18=4q$ целого $q$ не даёт: $4\cdot 4=16$, $4\cdot 5=20$, а $18$ между ними. Значит, $18$ на $4$ не делится.

Ответ

на $3$ — да; на $4$ — нет

Деление с остатком

Правило. Любое целое неотрицательное число $a$ можно разделить на натуральное $b$ с остатком: найдутся целые $q$ и $r$ такие, что

Пример 2

Разделите $17$ на $5$ с остатком.

Решение

Подбираем наибольшее $q$, при котором $5q$ не превосходит $17$: $5\cdot 3=15$, $5\cdot 4=20>17$. Тогда

$$17=5\cdot 3+2.$$

Проверка условия на остаток: $0⩽2<5$ — верно.

Ответ

$17=5\cdot 3+2$

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем натуральных чисел $a$ и $b$ называют наибольшее натуральное число, на которое делится и $a$, и $b$. Обозначают $\mathrm{НОД}(a;b)$.

Слово «наибольший» здесь не украшение. У чисел $12$ и $18$ общих делителей несколько: $1$, $2$, $3$, $6$. Наибольший из них — $6$, его и называют НОД. Перебирать все делители неудобно, когда числа большие; поэтому пользуются алгоритмом Евклида.

Правило. Если $a=bq+r$ и $0⩽r<b$, то $\mathrm{НОД}(a;b)=\mathrm{НОД}(b;r)$. Идея такова: любой общий делитель чисел $a$ и $b$ делит и остаток $r$, поэтому набор общих делителей у пар $(a;b)$ и $(b;r)$ один и тот же. Шаг повторяют, пока остаток не станет нулём; последний ненулевой остаток и есть НОД.

Пример 3

Найдите $\mathrm{НОД}(48;18)$.

Решение

Делим большее на меньшее:

$$48=18\cdot 2+12.$$

Значит, $\mathrm{НОД}(48;18)=\mathrm{НОД}(18;12)$. Далее

$$18=12\cdot 1+6,$$

поэтому $\mathrm{НОД}(18;12)=\mathrm{НОД}(12;6)$. Наконец

$$12=6\cdot 2+0.$$

Остаток нулевой, последний ненулевой остаток равен $6$.

Ответ

$6$

Пример 4

Найдите $\mathrm{НОД}(35;14)$.

Решение

$$35=14\cdot 2+7,$$

откуда $\mathrm{НОД}(35;14)=\mathrm{НОД}(14;7)$. Далее

$$14=7\cdot 2+0.$$

Последний ненулевой остаток равен $7$. Проверка: $35=7\cdot 5$ и $14=7\cdot 2$, большего общего делителя нет.

Ответ

$7$

Наименьшее общее кратное

Определение. Наименьшим общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называют наименьшее натуральное число, которое делится и на $a$, и на $b$. Обозначают $\mathrm{НОК}(a;b)$.

Правило. Произведение $a\cdot b$ всегда является общим кратным, но не всегда наименьшим: оно «лишний раз» содержит НОД. Поэтому НОД из произведения вычёркивают:

Пример 5

Найдите $\mathrm{НОК}(12;18)$.

Решение

Сначала НОД.

$$18=12\cdot 1+6,12=6\cdot 2+0,$$

значит $\mathrm{НОД}(12;18)=6$. Тогда

$$\mathrm{НОК}(12;18)=\frac{12\cdot 18}{6}=\frac{216}{6}=36.$$

Проверка: $36=12\cdot 3$ и $36=18\cdot 2$; меньшего общего кратного нет, потому что $24$ не делится на $18$.

Ответ

$36$

Признаки делимости

Правило. Число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$); на $5$ — когда последняя цифра равна $0$ или $5$; на $10$ — когда она равна $0$. На $4$ делится число, образованное двумя последними цифрами; на $8$ — число из трёх последних. На $3$ (на $9$) число делится тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$ (на $9$).

Почему так для двойки и пятёрки. Любое число можно записать как $n=10q+r$, где $r$ — последняя цифра. Число $10q$ всегда делится и на $2$, и на $5$. Поэтому делимость $n$ на $2$ или на $5$ целиком определяется цифрой $r$.

Пример 6

Делится ли $2574$ на $3$? Делится ли оно на $4$?

Решение

Сумма цифр: $2+5+7+4=18$, а $18$ делится на $3$, значит $2574$ делится на $3$. Для четвёрки смотрим две последние цифры: $74$. Деление $74=4\cdot 18+2$ даёт остаток $2$, поэтому на $4$ число $2574$ не делится.

Ответ

на $3$ — да; на $4$ — нет

Признак делимости на 11

Правило. Число делится на $11$ тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма его цифр делится на $11$ (в том числе равна нулю). Знаки чередуют справа налево или слева направо — для проверки делимости это одно и то же с точностью до общего минуса.

Пример 7

Делится ли $918$ на $11$?

Решение

Знакочередующаяся сумма: $9-1+8=16$, либо $8-1+9=16$. Число $16$ на $11$ не делится, значит и $918$ на $11$ не делится. Для сравнения: у $9182$ сумма $9-1+8-2=14$ тоже не подходит; у $121$ сумма $1-2+1=0$, а $0$ делится на $11$, и $121=11\cdot 11$.

Ответ

нет: $918$ на $11$ не делится

Простые числа и разложение

Определение. Натуральное число $p>1$ называют простым, если у него ровно два натуральных делителя: $1$ и оно само. Число $n>1$, не являющееся простым, называют составным. Число $1$ ни простым, ни составным не считают: у него только один делитель.

Правило. Всякое натуральное $n>1$ единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение простых. Это основная теорема арифметики. По разложению сразу читают НОД и НОК: в НОД берут общие простые с меньшими показателями, в НОК — все встретившиеся с большими.

Пример 8

Разложите $360$ на простые множители и найдите $\mathrm{НОД}(360;84)$.

Решение

Делим на простые подряд: $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Далее $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. Общие простые — $2$ и $3$, с меньшими показателями $2^2$ и $3^1$. Значит $\mathrm{НОД}(360;84)=2^2\cdot 3=12$.

Ответ

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$; $\mathrm{НОД}=12$

Последняя цифра

Правило. Последняя цифра произведения определяется последними цифрами множителей. Поэтому последнюю цифру степени $a^n$ ищут по последней цифре основания: она бегает по короткому циклу. Для $2$ цикл $2,4,8,6$; для $3$ — $3,9,7,1$; для $7$ — $7,9,3,1$; для $8$ — $8,4,2,6$. Длина цикла у этих цифр равна $4$, поэтому смотрят остаток показателя при делении на $4$.

Пример 9

Найдите последнюю цифру числа $3^{2026}$.

Решение

Цикл последних цифр тройки: $3,9,7,1$. Делим показатель на длину цикла: $2026=4\cdot 506+2$. Остаток $2$ указывает на вторую позицию цикла — цифру $9$. Значит $3^{2026}$ оканчивается на $9$.

Ответ

$9$

Замечание. Частые ошибки: считают натуральным число $0$; число $1$ называют простым; путают НОД и НОК; для признака деления на $4$ смотрят только последнюю цифру, а нужны две.