← К карте

1.2. Рациональные числа. Дроби и проценты

25 задач в банке. Решать →

Рациональные числа

Определение. Рациональным называют число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное. Множество рациональных чисел обозначают $\mathbb{Q}$. Целые числа сюда входят: например, $5=\frac{5}{1}$.

Определение. Дробь $\frac{p}{q}$ называют несократимой, если $\mathrm{НОД}(|p|;q)=1$, то есть числитель и знаменатель не имеют общего делителя, большего $1$. Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их НОД. От этого значение дроби не меняется: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Сложение дробей

Правило. Дроби с разными знаменателями складывают, предварительно приведя их к общему знаменателю. Общим может быть любое общее кратное знаменателей; меньше всего вычислений даёт $\mathrm{НОК}$. Если знаменатели уже равны, складывают только числители, знаменатель оставляют тем же.

Почему появляется $ad+bc$. Дробь $\frac{a}{b}$ — это $a$ равных долей, каждая из которых есть $\frac{1}{b}$. Чтобы сложить доли разного размера, их крошат ещё мельче: каждую $b$-ю долю делят на $d$ частей, каждую $d$-ю — на $b$ частей. Тогда в знаменателе $bd$ частей, а числители становятся $ad$ и $bc$.

Пример 1

Вычислите $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.

Решение

Общий знаменатель равен $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\frac{1}{3}=\frac{2}{6}.$$

Тогда

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.$$

Дробь $\frac{5}{6}$ несократима: у $5$ и $6$ общих делителей, кроме $1$, нет.

Ответ

$\frac{5}{6}$

Пример 2

Вычислите $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}$.

Решение

$\mathrm{НОК}(9;6)=18$. Тогда

$$\frac{2}{9}=\frac{4}{18},\frac{1}{6}=\frac{3}{18},$$

откуда

$$\frac{4}{18}+\frac{3}{18}=\frac{7}{18}.$$

Сократить нельзя: $7$ простое, $18$ на $7$ не делится.

Ответ

$\frac{7}{18}$

Десятичные и периодические дроби

Обыкновенную дробь можно записать десятичной, разделив числитель на знаменатель. Если деление рано или поздно оборвалось, дробь конечная: $\frac{1}{2}=0,5$, $\frac{3}{4}=0,75$. Если остатки начали повторяться, дробь бесконечная периодическая: $\frac{1}{3}=0,333\dots =0,(3)$, $\frac{1}{6}=0,1(6)$.

Замечание. Любая бесконечная периодическая дробь рациональна. Непериодические бесконечные дроби (например $0,1010010001\dots$ или $\pi$) рациональными не являются — это уже действительные числа другого рода.

Проценты

Определение. Одним процентом числа называют его сотую долю. Запись $p\%$ означает множитель $\frac{p}{100}$. Поэтому «найти $p\%$ от $A$» — это умножить $A$ на $\frac{p}{100}$, а не «прибавить $p$».

Правило. Увеличить число $A$ на $p\%$ — значит взять $A$ целиком и ещё $p\%$ от него, то есть $A\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$. Уменьшить на $p\%$ — взять $A\cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)$. Множители $1,p$ и $0,p$ — это та же запись в десятичном виде: увеличить на $15\%$ — умножить на $1,15$.

Пример 3

Найдите $15\%$ от числа $80$.

Решение

По определению один процент от $80$ равен $80:100=0,8$. Тогда пятнадцать процентов:

$$80\cdot \frac{15}{100}=80\cdot 0,15=12.$$

Ответ

$12$

Пример 4

Число $200$ увеличили на $15\%$. Какое число получили?

Решение

Нужно не $15\%$ отдельно, а само число вместе с надбавкой:

$$200\cdot \left(1+\frac{15}{100}\right)=200\cdot 1,15=230.$$

Проверка: $15\%$ от $200$ равны $30$, и $200+30=230$.

Ответ

$230$

Пример 5

Число $80$ уменьшили на $25\%$. Какое число получили?

Решение

$$80\cdot \left(1-\frac{25}{100}\right)=80\cdot 0,75=60.$$

Иначе: $25\%$ от $80$ равны $20$, и $80-20=60$.

Ответ

$60$

Умножение и деление дробей

Правило. При умножении дробей числители перемножают отдельно, знаменатели — отдельно. При делении первую дробь умножают на дробь, обратную второй: обратная к $\frac{c}{d}$ есть $\frac{d}{c}$ (при $c\ne 0$). Сокращать общие множители можно сразу, до умножения — так меньше арифметики.

Пример 6

Вычислите $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{8}$ и $\frac{2}{3}:\frac{4}{9}$.

Решение

Сокращаем двойку и девятку:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{8}=\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$$

Деление:

$$\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{2\cdot 3}{4}=\frac{3}{2}.$$

Ответ

$\frac{3}{4}$; $\frac{3}{2}$

Смешанные числа и период в обыкновенную

Определение. Смешанным называют запись целой части вместе с правильной дробью: $2\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$. Перед умножением и делением смешанное обязательно переводят в неправильную дробь.

Правило. Конечную десятичную дробь читают как обыкновенную по разрядам: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$. Чистую периодическую $0,(d_1\dots d_k)$ обращают так: период кладут в числитель, в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде. Пример: $0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, $0,(14)=\frac{14}{99}$.

Пример 7

Запишите $0,(6)$ и $2,5$ обыкновенными дробями. Вычислите $1\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}$.

Решение

$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Далее $2,5=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$. Смешанное: $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, поэтому

$$\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}=1.$$

Ответ

$\frac{2}{3}$; $\frac{5}{2}$; $1$

Число по проценту и «какой процент»

Правило. Если $p\%$ числа $A$ равны $B$, то $A\cdot \frac{p}{100}=B$, откуда само число $A=B:\frac{p}{100}=B\cdot \frac{100}{p}$. Вопрос «какой процент число $B$ составляет от $A$» решается так:

Пример 8

Число $12$ составляет $15\%$ неизвестного числа. Найдите это число. Какой процент составляет $9$ от $60$?

Решение

Из $A\cdot 0,15=12$ получаем $A=12:0,15=80$. Второй вопрос:

$$\frac{9}{60}\cdot 100\%=0,15\cdot 100\%=15\%.$$

Ответ

$80$; $15\%$

Замечание. Частые ошибки: складывают числители и знаменатели по отдельности; при делении забывают перевернуть вторую дробь; «$15\%$ от числа» путают с «число плюс $15$»; после увеличения на $p\%$ уменьшают на те же $p\%$ и ждут исходное.