← К карте

1.3. Арифметический корень

15 задач в банке. Решать →

Определение

Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$:

Разберём определение по словам. «$n$-я степень равна $a$» означает $b\cdot b\cdot \dots \cdot b=a$ ($n$ множителей). «Неотрицательное» — отдельное требование: уравнению $x^2=9$ удовлетворяют и $3$, и $-3$, но арифметическим квадратным корнем называют только $3$. Поэтому $\sqrt{9}=3$, а не $\pm 3$. Знак $\pm$ появляется позже, когда решают уравнение, а не когда извлекают арифметический корень.

При $n=2$ пишут просто $\sqrt{a}$ и говорят «квадратный корень». Корень чётной степени определён только при $a⩾0$: чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому равенство $b^{2k}=a$ при $a<0$ невозможно. Корень нечётной степени определён при любом действительном $a$: например, $(-2{)}^3=-8$, значит $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Пример 1

Вычислите $\sqrt{49}$ и $\sqrt[3]{-8}$. Существует ли $\sqrt{-9}$?

Решение

Ищем неотрицательное $b$ с условием $b^2=49$. Подходит $b=7$, потому что $7^2=49$ и $7>0$. Для кубического корня степень нечётная, ограничений нет: $(-2{)}^3=-8$, поэтому $\sqrt[3]{-8}=-2$. Арифметический квадратный корень $\sqrt{-9}$ не существует: нет действительного $b⩾0$ с условием $b^2=-9$.

Ответ

$7$; $-2$; $\sqrt{-9}$ не существует

Свойства

Правило. При $a⩾0$, $b⩾0$ справедливы равенства

Ими пользуются, чтобы собрать корни в один или, наоборот, вынести множитель из-под корня. Вынести можно квадрат: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ при $a⩾0$, $b⩾0$.

Пример 2

Вычислите $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}$.

Решение

По свойству произведения

$$\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{144}.$$

Так как $12^2=144$ и $12>0$, получаем $12$. Можно иначе: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, тогда $2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=6\cdot 2=12$.

Ответ

$12$

Пример 3

Упростите $\sqrt{50}$.

Решение

Выделяем квадрат: $50=25\cdot 2$, а $25=5^2$. Тогда

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}.$$

Ответ

$5\sqrt{2}$

Корень из квадрата

Правило. При любом действительном $a$ верно равенство $\sqrt{a^2}=|a|$. Модуль здесь обязателен: квадрат стирает знак, а арифметический корень обязан вернуть неотрицательное число. Писать $\sqrt{a^2}=a$ можно только если заранее известно, что $a⩾0$.

Пример 4

Вычислите $\sqrt{(-5{)}^2}$ и сравните с $-5$.

Решение

$(-5{)}^2=25$, $\sqrt{25}=5$. Получили $5$, а не $-5$. Это как раз равенство $\sqrt{a^2}=|a|$: $|-5|=5$. Если написать $\sqrt{(-5{)}^2}=-5$, определение арифметического корня будет нарушено.

Ответ

$5$

Корень и степень

Правило. Корень и степень с одним и тем же показателем уничтожают друг друга — но с оговоркой на знак. При $a⩾0$ всегда

Отсюда вынесение и внесение множителя. Вынести из-под корня $n$-й степени можно только $n$-ю степень: $\sqrt[n]{a^{n}b}=a\sqrt[n]{b}$ при $a⩾0$, $b⩾0$. Внести — обратить ход: $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}b}$.

Пример 5

Упростите $\sqrt[4]{16}$ и $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$.

Решение

$\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2$. Вложенные корни перемножают показатели:

$$\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2.$$

Иначе: $\sqrt{64}=8$, $\sqrt[3]{8}=2$.

Ответ

$2$; $2$

Пример 6

Вынесите множитель из $\sqrt[3]{54}$ и внесите $2$ под корень в $2\sqrt{3}$.

Решение

$54=27\cdot 2=3^3\cdot 2$, поэтому

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}.$$

Внесение: $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}$.

Ответ

$3\sqrt[3]{2}$; $\sqrt{12}$

Корень дроби и одинаковый показатель

Правило. При $a⩾0$, $b>0$ верно $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Корни одной степени перемножают, собирая подкоренные: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$. Показатели корней при этом должны совпадать; если нет — сначала приводят к общему, пользуясь $\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$.

Пример 7

Вычислите $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}$ и приведите $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{8}$ к одному корню.

Решение

$$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.$$

Далее $\sqrt{2}=\sqrt[4]{2^2}=\sqrt[4]{4}$, поэтому

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=2\sqrt[4]{2}.$$

Ответ

$\frac{3}{2}$; $2\sqrt[4]{2}$

Замечание. Равенство $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ неверно: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, а $\sqrt{25}=5$. Формулы суммы корней в школьном курсе нет. Нельзя выносить из-под квадратного корня множитель в первой степени: $\sqrt{8}\ne 4\sqrt{2}$, верно $2\sqrt{2}$.