1.6. Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы

16 задач в банке. Решать →

Определение

Определение. Логарифмом числа $b > 0$ по основанию $a$ , где $a > 0$ и $a \neq = 1$ , называют показатель степени, в которую надо возвести $a$ , чтобы получить $b$ . Обозначают $lo g_{a} b$ . Иначе говоря,

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Читать определение удобно вслух: «логарифм $b$ по основанию $a$ — это та степень, в которую возводят $a$ , чтобы вышло $b$ ». Показательная запись $a^{c} = b$ и логарифмическая $lo g_{a} b = c$ говорят об одном и том же равенстве, только неизвестное стоит в разных местах: там в показателе, здесь само значение логарифма и есть этот показатель.

Три условия обязательны. $b > 0$ : степень с положительным основанием всегда положительна, получить ноль или отрицательное число нельзя. $a > 0$ : при отрицательном основании степень $a^{c}$ для нецелых $c$ часто не определена. $a \neq = 1$ : иначе получилось бы $1^{c} = 1$ , и логарифм единицы по основанию $1$ не выделял бы единственного показателя.

Пример 1: Вычислите $lo g_{2} 8$ и $lo g_{3} 81$ .
Решение: Спрашиваем: в какую степень возвести $2$ , чтобы получить $8$ ? Так как $2^{3} = 8$ , получаем $lo g_{2} 8 = 3$ . Аналогично $3^{4} = 81$ , поэтому $lo g_{3} 81 = 4$ .
Ответ: $3$ ; $4$

Пример 2: Вычислите $lo g_{5} 1$ и $lo g_{5} 5$ . Существует ли $lo g_{5} (- 25)$ ?
Решение: Любое допустимое основание в степени $0$ даёт $1$ : $5^{0} = 1$ , значит $lo g_{5} 1 = 0$ . Далее $5^{1} = 5$ , поэтому $lo g_{5} 5 = 1$ . Логарифм отрицательного числа не существует: нет такого действительного $c$ , что $5^{c} = - 25$ .
Ответ: $0$ ; $1$ ; не существует

Десятичный и натуральный логарифмы

Десятичным называют логарифм по основанию $10$ и пишут $l g b$ вместо $lo g_{10} b$ . Натуральным — логарифм по основанию $e$ ( $e \approx 2, 7$ ) и пишут $ln b$ . Из определения сразу следуют равенства, которые полезно выучить как таблицу:

lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} a = 1, lo g_{a} a^{c} = c, a^{l o g_{a} b} = b

Пример 3: Вычислите $l g 100$ и $l g 0, 01$ .
Решение: $l g 100 = c$ означает $1 0^{c} = 100$ . Но $100 = 1 0^{2}$ , поэтому $c = 2$ . Далее $0, 01 = 1 0^{- 2}$ , значит $l g 0, 01 = - 2$ . Отрицательный логарифм появляется ровно тогда, когда число лежит между $0$ и $1$ .
Ответ: $2$ ; $- 2$

Пример 4: Вычислите $lo g_{2} \frac{1}{16}$ .
Решение: Ищем $c$ из равенства $2^{c} = \frac{1}{16}$ . Правая часть есть $2^{- 4}$ , потому что $2^{4} = 16$ и $2^{- 4} = \frac{1}{16}$ . Значит $c = - 4$ .
Ответ: $- 4$

Свойства логарифмов

Правило. При допустимых основаниях и положительных аргументах логарифм превращает умножение в сложение, деление — в вычитание, а возведение в степень — в умножение на показатель:

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c, lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c, lo g_{a} (b^{p}) = p lo g_{a} b

Почему так. Если $lo g_{a} b = x$ и $lo g_{a} c = y$ , то $b = a^{x}$ и $c = a^{y}$ . Произведение $b c = a^{x} a^{y} = a^{x + y}$ , а показатель $x + y$ как раз и есть логарифм произведения. Для частного показатели вычитают, потому что $a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$ . Для степени: $(a^{x})^{p} = a^{x p}$ .

Пример 5: Упростите $lo g_{2} 12 + lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9$ .
Решение: Складываем и вычитаем по свойствам:
$lo g_{2} 12 + lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9 = lo g_{2} \frac{12 \cdot 6}{9} = lo g_{2} 8.$
Но $8 = 2^{3}$ , поэтому $lo g_{2} 8 = 3$ .
Ответ: $3$

Пример 6: Вычислите $lo g_{3} 8 1^{2}$ двумя способами.
Решение: По свойству степени $lo g_{3} 8 1^{2} = 2 lo g_{3} 81 = 2 \cdot 4 = 8$ . Иначе: $8 1^{2} = (3^{4})^{2} = 3^{8}$ , значит логарифм равен $8$ . Оба пути обязаны совпасть — это проверка, что свойство не «ломает» определение.
Ответ: $8$

Переход к другому основанию

Правило. Логарифм по основанию $a$ выражают через логарифмы по любому другому допустимому основанию $c$ :

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}, lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1

Следствие. В частности $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{ln b}{ln a}$ . Этим пользуются, когда на калькуляторе есть только $l g$ или $ln$ . Формула $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ — частный случай при $c = b$ : в знаменателе появляется $lo g_{b} a$ , в числителе $lo g_{b} b = 1$ .

Пример 7: Вычислите $lo g_{8} 2$ и $lo g_{4} 8$ .
Решение: По формуле обратного основания $lo g_{8} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 8} = \frac{1}{3}$ . Для второго переходим к основанию $2$ :
$lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2} .$
Проверка определением: $4^{3/2} = (2^{2})^{3/2} = 2^{3} = 8$ .
Ответ: $\frac{1}{3}$ ; $\frac{3}{2}$

Ещё два рабочих тождества

Правило. Справедливы равенства $lo g_{a} b = lo g_{a^{k}} b^{k}$ при $k \neq = 0$ и $a^{l o g_{a} b} = b$ . Второе — «логарифм и степень с одним основанием уничтожают друг друга». Первое позволяет одновременно возвести основание и аргумент в одну и ту же степень, не изменив значение логарифма.

Пример 8: Вычислите $2^{l o g_{2} 7}$ и $lo g_{4} 16$ через $lo g_{2}$ .
Решение: По тождеству $a^{l o g_{a} b} = b$ сразу $2^{l o g_{2} 7} = 7$ . Далее $lo g_{4} 16 = lo g_{2^{2}} (2^{4}) = \frac{4}{2} = 2$ , либо $lo g_{4} 16 = \frac{lo g _{2} 16}{lo g _{2} 4} = \frac{4}{2} = 2$ .
Ответ: $7$ ; $2$

Замечание. Частые ошибки: $lo g (a + b) = lo g a + lo g b$ (верно только для произведения); $lo g (a^{p}) = (lo g a)^{p}$ ; ищут $lo g 0$ или $lo g (- 3)$ ; путают $lo g_{2} 8 = 3$ и $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ .

Практика

Без таймера и соперника. Пять задач, тема освоена при 4 верных. Подряд один сюжет не повторяется.