← К карте

1.7. Действительные числа. Округление и прикидка

14 задач в банке. Решать →

Действительные числа

Определение. Действительными называют все числа, которые можно записать конечной или бесконечной десятичной дробью. К ним относятся рациональные числа (обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные) и иррациональные — бесконечные непериодические, например $\sqrt{2}$ и $\pi$. Множество действительных чисел обозначают $\mathbb{R}$.

На числовой прямой каждому действительному числу отвечает ровно одна точка, и наоборот. Арифметические операции с действительными числами подчиняются тем же законам, что и с рациональными: сложение и умножение перестановочны и сочетательны, умножение распределяется относительно сложения. Ноль нельзя ставить в знаменатель.

Округление

Правило. Чтобы округлить число до данного разряда, смотрят цифру следующего разряда. Если она равна $0$, $1$, $2$, $3$ или $4$, цифру данного разряда оставляют без изменения, а все следующие отбрасывают. Если она равна $5$, $6$, $7$, $8$ или $9$, цифру данного разряда увеличивают на единицу (если это была $9$, возникает перенос влево) и следующие отбрасывают.

Зачем смотреть именно следующую цифру. Округление — это выбор ближайшего числа с нужным количеством знаков. Если следующая цифра меньше $5$, исходное число ближе к «нижнему» варианту; если $5$ или больше — к «верхнему». На ЕГЭ цифру $5$ всегда округляют вверх.

Пример 1

Округлите $3,14159$ до сотых.

Решение

Сотые — второй знак после запятой, это цифра $4$. Следующая цифра (тысячные) равна $1$, а $1<5$, поэтому четвёрку не трогаем и хвост отбрасываем:

$$3,14159\approx 3,14.$$

Ответ

$3,14$

Пример 2

Округлите $2,96$ до десятых.

Решение

Десятые — первый знак после запятой, цифра $9$. Следующая цифра равна $6$, а $6⩾5$, поэтому девятку увеличиваем на единицу. Но $9+1=10$, возникает перенос: десятые обнуляются, к целой части прибавляется $1$. Получаем $3,0$. Запись $2,10$ здесь была бы ошибкой.

Ответ

$3,0$

Пример 3

Округлите $47$ до десятков.

Решение

Разряд десятков — цифра $4$. Следующий разряд (единицы) равен $7⩾5$, поэтому $4$ заменяем на $5$, а единицы обнуляем: $50$.

Ответ

$50$

Прикидка и оценка

Правило. Прежде чем считать точно, заменяют множители близкими «удобными» числами и оценивают порядок результата. Если точный ответ отличается от оценки в разы, в вычислении, скорее всего, пропущена запятая, потерян множитель или перепутано действие.

Пример 4

Оцените произведение $19\cdot 21$ и сравните с точным значением.

Решение

Оба множителя близки к $20$, поэтому

$$19\cdot 21\approx 20\cdot 20=400.$$

Точно: $19\cdot 21=(20-1)(20+1)=400-1=399$. Оценка $400$ отличается от $399$ на единицу — это согласуется. Если бы при вычислении вышло $3990$ или $39,9$, прикидка сразу указала бы на ошибку.

Ответ

оценка $400$; точно $399$

Пример 5

Оцените $\frac{48}{0,24}$.

Решение

Число $0,24$ близко к $0,25=\frac{1}{4}$, а $48$ близко к $50$. Деление на $0,25$ есть умножение на $4$, поэтому

$$\frac{48}{0,24}\approx 50\cdot 4=200.$$

Точное значение: $\frac{48}{0,24}=\frac{4800}{24}=200$. Оценка совпала.

Ответ

$200$

Оценка неравенствами

Правило. Если все множители положительны и каждый заменён меньшим (большим) числом, произведение уменьшится (увеличится). Так получают двустороннюю оценку, не считая точно. Для суммы то же самое: меньше слагаемые — меньше сумма.

Пример 6

Оцените $1,4<\sqrt{2}<1,5$ возведением в квадрат и найдите, чему ближе $\sqrt{2}$.

Решение

Все числа положительны, поэтому неравенство можно возводить в квадрат: нужно сравнить $1,96$, $2$ и $2,25$. Действительно $1,96<2<2,25$, значит $1,4<\sqrt{2}<1,5$. До сотых: $1,41^2=1,9881<2$, $1,42^2=2,0164>2$, поэтому $\sqrt{2}\approx 1,41$ с недостатком.

Ответ

$1,4<\sqrt{2}<1,5$; ближе к $1,41$

Погрешность округления

Определение. Если число $a$ заменили приближённым $a_0$, абсолютной погрешностью называют $|a-a_0|$. При округлении до данного разряда погрешность не превосходит половины единицы этого разряда: округление до сотых даёт погрешность не больше $0,005$.

Пример 7

Число $\pi \approx 3,14$ округлили до сотых. Какова граница абсолютной погрешности? Попадает ли $3,14159$ в этот допуск?

Решение

Единица разряда сотых равна $0,01$, половина — $0,005$. Истинное $\pi$ лежит в промежутке $[3,14-0,005;3,14+0,005]=[3,135;3,145]$. Число $3,14159$ в него входит. Если бы написали $3,15$, допуск был бы уже около $3,15$, и $3,14159$ туда не попало бы.

Ответ

не больше $0,005$; да, входит

Замечание. Частые ошибки: округляют не тот разряд; при цифре $9$ забывают перенос; сравнивают иррациональности «на глаз», не возводя в квадрат; прикидку делают после ответа, а не до вычисления.