1.8. Преобразование выражений

15 задач в банке. Решать →

Что значит преобразовать

Определение. Преобразовать выражение — значит заменить его другим, тождественно равным: при всех допустимых значениях переменных оба выражения принимают одно и то же значение. Формулы сокращённого умножения как раз дают такие замены: левая и правая части — это одно и то же, записанное по-разному.

Порядок действий

Правило. Действия выполняют в таком порядке: сначала скобки, затем возведение в степень (в том числе корни), затем умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо. Если порядок нужно изменить, ставят скобки.

Пример 1: Вычислите $2 + 3 \cdot 4$ и $(2 + 3) \cdot 4$ .
Решение: В первом выражении сначала умножение: $3 \cdot 4 = 12$ , затем $2 + 12 = 14$ . Во втором скобки поднимают сложение выше умножения: $2 + 3 = 5$ , затем $5 \cdot 4 = 20$ . Это разные числа — именно поэтому скобки нельзя «додумывать».
Ответ: $14$ ; $20$

Квадрат суммы и квадрат разности

Правило. При любых $a$ и $b$ справедливы тождества

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Почему появляется среднее слагаемое $2 ab$ . Квадрат — это произведение скобки на себя: $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$ . Раскрывая, получают четыре произведения: $a \cdot a$ , $a \cdot b$ , $b \cdot a$ и $b \cdot b$ . Два средних одинаковы и складываются в $2 ab$ . Отбросить их — значит посчитать площадь «рамки» вокруг квадрата $a^{2}$ за ноль.

Пример 2: Вычислите $(5 + 2)^{2}$ двумя способами и сравните с $5^{2} + 2^{2}$ .
Решение: Сначала по определению степени: $5 + 2 = 7$ , $7^{2} = 49$ . По формуле
$(5 + 2)^{2} = 25 + 2 \cdot 5 \cdot 2 + 4 = 25 + 20 + 4 = 49.$
А $5^{2} + 2^{2} = 25 + 4 = 29$ — это другое число. Равенство $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ неверно: потеряно $2 ab = 20$ .
Ответ: $49$ ; $5^{2} + 2^{2} = 29 \neq = 49$

Пример 3: Раскройте $(x - 3)^{2}$ .
Решение: Это квадрат разности:
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 9 = x^{2} - 6 x + 9.$
Знак минус у среднего слагаемого появляется потому, что одно из двух произведений $x \cdot (- 3)$ и $(- 3) \cdot x$ уже отрицательно, и они складываются.
Ответ: $x^{2} - 6 x + 9$

Разность квадратов

Правило. Произведение суммы на разность есть разность квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Это тождество читают в обе стороны. Слева направо — раскрывают скобки. Справа налево — раскладывают разность квадратов на множители. Именно второй ход часто сокращает вычисление «неудобных» произведений вроде $103 \cdot 97$ .

Пример 4: Вычислите $(x + 2) (x - 2)$ при $x = 5$ .
Решение: По формуле разности квадратов $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ . Подставляем $x = 5$ :
$5^{2} - 4 = 25 - 4 = 21.$
Проверка прямым умножением: $7 \cdot 3 = 21$ .
Ответ: $21$

Пример 5: Вычислите $103 \cdot 97$ , не перемножая столбиком.
Решение: Замечаем $103 = 100 + 3$ и $97 = 100 - 3$ . Тогда
$103 \cdot 97 = (100 + 3) (100 - 3) = 10 0^{2} - 3^{2} = 10000 - 9 = 9991.$
Ответ: $9991$

Куб суммы и разность кубов

Правило. Квадратные формулы — не весь список. Для куба справедливы тождества

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}, (a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Сумму кубов на линейные множители так просто, как разность квадратов, не раскладывают: остаётся квадратный трёхчлен $a^{2} - ab + b^{2}$ , который на действительные линейные множители дальше не бьётся. Путать $a^{2} - ab + b^{2}$ с $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ нельзя: среднего слагаемого в два раза меньше и знак другой.

Пример 6: Раскройте $(x + 1)^{3}$ и разложите $8 - 27 y^{3}$ .
Решение: $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1 = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Далее $8 - 27 y^{3} = 2^{3} - (3 y)^{3}$ , значит
$2^{3} - (3 y)^{3} = (2 - 3 y) (4 + 2 \cdot 3 y + 9 y^{2}) = (2 - 3 y) (4 + 6 y + 9 y^{2}) .$
Ответ: $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ ; $(2 - 3 y) (9 y^{2} + 6 y + 4)$

Вынесение общего множителя

Правило. Если все слагаемые содержат один и тот же множитель, его выносят за скобку: $a x + a y = a (x + y)$ . Для четырёх слагаемых часто группируют по два: $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)$ . Это не новая формула, а два раза вынесенный общий множитель.

Пример 7: Разложите $x^{2} + 5 x + 6 x + 30$ и $2 x + 2 y + x k + y k$ .
Решение: В первом группируем: $x (x + 5) + 6 (x + 5) = (x + 6) (x + 5)$ . Во втором: $2 (x + y) + k (x + y) = (2 + k) (x + y)$ .
Ответ: $(x + 5) (x + 6)$ ; $(2 + k) (x + y)$

Замечание. Частые ошибки: $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; путают $a^{2} - b^{2}$ с $(a - b)^{2}$ ; в $a^{3} - b^{3}$ пишут скобку $(a^{2} - ab + b^{2})$ со знаком плюс у среднего; в порядке действий считают сложение «важнее» умножения.

Практика

Без таймера и соперника. Пять задач, тема освоена при 4 верных. Подряд один сюжет не повторяется.